ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)

    线性问题的定义：在外部载荷的作用下，结构的响应是线性的。比如假设一个线性弹簧在10N的载荷下，伸长1cm。那么当施加20N载荷时，它将会伸长2cm。

    ABAQUS/Standard在线性分析中，结构的刚度矩阵只计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度矩阵的逆矩阵(又称柔度矩阵），可得到结构对其他载荷的相应。

    非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变的问题。所有的物理结构均是非线性的。线性只是一种近似，很显然对许多有限元模型比如加工过程 ，冲压，碰撞等分析，线性分析是远远不够的。

    由于结构的刚度会时刻改变，所以我们不能像线性问题一样，还是用直接法计算的结构刚度矩阵。在非线性分析中，结构的刚度矩阵必须进行许多次迭代生成计算，因此，这使得非线性的分析相比线性分析昂贵的多。

非线性的来源：

    1.    材料非线性，比如材料的应力-应变关系成非线性

    2.    边界非线性，比如结构在变形的过程过中生接触，使得整个结构的边界条件发生变化

    3.    几何非线性，大转动扰动，突然的翻转，屈曲现象等。

    非线性问题求解的实质就是求解静态平衡方程，【P - I = 0】。外载荷P必须与内应力I互相平衡。

    ABAQUS/Standard应用迭代算法获得非线性问题的解答，通过把总的外部载荷，分成若干个小的载荷，增量的施加给结构，逐步的获取最终的解答。

ABOUT STEPS，INCREMENTS，ITERATIONS!

    这三个概念是Standard求解器非常重要的概念，弄清楚三者的含义，以及他们之间的关系非常重要。下面我们通过一个实际的小例子来看一下，假设圆柱受到一个刚性板约10000N的载荷向下压。

    分析步：这里我们可以将这个问题分为2个STEP来计算。

            1.    STEP1施加一个很小的载荷比如10N，使得上板与下板之间的接触关系稳定。

            2.    STEP2经过第一步，接触已稳定建立，这时就可以将剩余的载荷在STEP2中施加到圆柱上。

    增量步：我们假设在STEP2中，我们设置了1000个增量步，也就意味着，剩余的载荷将会分成1000份来逐步施加到圆柱上。

    迭代步：迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次尝试。在迭代结束后，如果模型不处于平衡状态，那么就会采用新一轮的迭代步进行尝试。一个增量步中需要多次的迭代才能找到可以接受的解答。

ABAQUS/Standard求解器对于一个小的载荷增量△P，结构的非线性如下图所示：

平衡迭代：

• 已知△P和结构在U0处的切向刚度K0, 计算出修正位移Ca。Ca = △P / K0 

• 利用Ca，将结构更新到Ua处。Ua = U0 + Ca  

• 基于结构的更新构形Ua，并形成新的刚度Ka，随之计算出新的内部作用力Ia。 Ia = I(Ua) 

• 计算迭代残差力Ra；Ra = P – Ia

收敛判断：

• 对迭代残差力Ra的比较，如果Ra小于平均力的0.5%，那么接受此解。 

• 对修正位移Ca的比较，如果Ca小于总的增量位移，那么接受此解。 

• 当俩个判断标准均满足时，Solver接受此解，并写入结果文件，进行下一个增量步的计算。 

如果上述条件不满足时，将会进行下一次迭代，如下图所示。此时solver采用Ua处的切向刚度Ka来计算Cb，并更新Ib，获得Rb后对Rb以及Cb进行收敛判断

为了更清楚了解平衡迭代的过程，将其步骤整理成流程表，如下所示：