ABAQUS/Standard vs. 非线性 (基础篇)
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众所周知，ABAQUS是一款功能非常强大的通用有限元软件，一提到ABAQUS大家首先想到的肯定是其强大的非线性求解功能。那么本篇文章我们将一起研究一下ABAQUS/Standard是怎么求解非线性问题的。在说非线性之前，我们先简单的过一遍线性问题，以便更好的理解非线性，以及非线性的求解。
01. 什么是线性问题
线性问题的定义：在外部载荷的作用下，结构的响应是线性的。比如假设一个线性弹簧在10N的载荷下，伸长1cm。那么当施加20N载荷时，它将会伸长2cm。
ABAQUS/Standard在线性分析中，结构的刚度矩阵只计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度矩阵的逆矩阵(又称柔度矩阵），可得到结构对其他载荷的相应。
02 什么是非线性
非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变的问题。所有的物理结构均是非线性的。线性只是一种近似，很显然对许多有限元模型比如加工过程 ，冲压，碰撞等分析，线性分析是远远不够的。
由于结构的刚度会时刻改变，所以我们不能像线性问题一样，还是用直接法计算的结构刚度矩阵。在非线性分析中，结构的刚度矩阵必须进行许多次迭代生成计算，因此，这使得非线性的分析相比线性分析昂贵的多。
非线性的来源：
1. 材料非线性，比如材料的应力-应变关系成非线性
2. 边界非线性，比如结构在变形的过程过中生接触，使得整个结构的边界条件发生变化
3. 几何非线性，大转动扰动，突然的翻转，屈曲现象等。
非线性问题求解的实质就是求解静态平衡方程，【P - I = 0】。外载荷P必须与内应力I互相平衡。
ABAQUS/Standard应用迭代算法获得非线性问题的解答，通过把总的外部载荷，分成若干个小的载荷，增量的施加给结构，逐步的获取最终的解答。
ABOUT STEPS，INCREMENTS，ITERATIONS!
这三个概念是Standard求解器非常重要的概念，弄清楚三者的含义，以及他们之间的关系非常重要。下面我们通过一个实际的小例子来看一下，假设圆柱受到一个刚性板约10000N的载荷向下压。
分析步：这里我们可以将这个问题分为2个STEP来计算。
1. STEP1施加一个很小的载荷比如10N，使得上板与下板之间的接触关系稳定。
2. STEP2经过第一步，接触已稳定建立，这时就可以将剩余的载荷在STEP2中施加到圆柱上。
增量步：我们假设在STEP2中，我们设置了1000个增量步，也就意味着，剩余的载荷将会分成1000份来逐步施加到圆柱上。
迭代步：迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次尝试。在迭代结束后，如果模型不处于平衡状态，那么就会采用新一轮的迭代步进行尝试。一个增量步中需要多次的迭代才能找到可以接受的解答。
04 平衡迭代和收敛判断
ABAQUS/Standard求解器对于一个小的载荷增量△P，结构的非线性如下图所示：
平衡迭代：
已知△P和结构在U0处的切向刚度K0, 计算出修正位移Ca。Ca = △P / K0
利用Ca，将结构更新到Ua处。Ua = U0 + Ca
基于结构的更新构形Ua，并形成新的刚度Ka，随之计算出新的内部作用力Ia。 Ia = I(Ua)
计算迭代残差力Ra；Ra = P – Ia
收敛判断：
对迭代残差力Ra的比较，如果Ra小于平均力的0.5%，那么接受此解。
对修正位移Ca的比较，如果Ca小于总的增量位移，那么接受此解。
当俩个判断标准均满足时，Solver接受此解，并写入结果文件，进行下一个增量步的计算。
如果上述条件不满足时，将会进行下一次迭代，如下图所示。此时solver采用Ua处的切向刚度Ka来计算Cb，并更新Ib，获得Rb后对Rb以及Cb进行收敛判断
为了更清楚了解平衡迭代的过程，将其步骤整理成流程表，如下所示：
05 Static, general分析步
本小节，我们将进入ABAQUS/CAE界面。观察下Static,general分析步在做非线性的时候有哪些设置，以及这些设置的含义。
[Basic 选项卡]
Description：描述，可以写一些对分析步的描述信息，方便他人观察
Time period: 默认1，并非实际物理意义上的1秒。意思就是这个分析步的整体为1。
NLgeom: 几何非线性开关，做非线性的时候打开
Automatic stabiization: 自动稳定控制，不推荐打开。这个功能将会引入人工能来帮助求解器稳定求解。
[Increment 选项卡]
Type: Automatic, 自动增量控制选项，推荐。
Maximum number of increments: 最大增量步数，推荐设大一点，这个选项对计算速度精度没有任何影响，只是控制增量步数，如果你的计算中增量步数超过设定值，软件就会抛出错误。
Increment Size：增量步大小，intial size确定初始增量步大小，推荐设置的小一点，帮助求解器更容易获得收敛的解。Min Size，增量步最小值，当增量步小于这个值，软件将自动中止分析。Max Size，增量步最大值，控制增量步的最大值。
[Other 选项卡]
Method：Solver求解方法，直接法和迭代法
Solution Technique: 求解技术，分为Full
Newton和Quasi-Newton， 两者之间的最大差距就是，Full Newton在每个迭代步中结构的刚度矩阵都会重新生成，而Quasi-Newton默认下，每8个增量步才会重新生成刚度矩阵。
Extrapolation： 外推。默认Linear，非线性分析步的第一个增量步之后的每一个增量上，ABAQUS/Standard通过从前面的增量外推解来评估当前增量的解。默认情况下，使用100%的线性外推。如果Ti ≤ DE * Ti-1，则放弃外推，DE默认为0.1。
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