在 COMSOL 中正确模拟压电材料

正/逆压电效应与材料本身的各向异性程度紧密相关，反过来又与压电材料的晶体结构存在关联，而各向异性的程度同时又受到极化过程的影响。下面，我们将介绍如何在 COMSOL 软件中正确地模拟压电材料的晶体取向和极化方向。

压电效应简介

让我们快速回顾一下压电效应的概念：正压电效应指材料受到机械力的作用时，其电极化会发生改变；而逆压电效应指对材料施加外部电场后，材料会发生变形。

压电效应源自晶体结构

在 32 种晶体中有 20 种为非中心对称的晶体结构，而压电效应往往与此有所关联。石英等天然材料具有压电效应，原因就在于其自身的晶体结构。而锆钛酸铅（lead zirconate titanate，简称 PZT）等人工材料需经过极化过程才能表现出压电特性。让我们来一起探究微观层面上究竟发生了什么，从而引起了压电效应。

钙钛矿晶胞中偏离中心的钛离子。

对于钙钛矿（perovskite，分子式为 CaTiO3）一类的典型的非中心对称晶体结构来说，其晶体中每个晶胞的净电荷均为零。然而，由于晶胞中的钛离子略微偏离中心，因此产生了电极性，从而使晶胞转化为有效的电偶极子。当机械应力作用在晶体上时，钛离子的位置进一步发生变化，进而改变晶体的极化强度，产生正压电效应；相反，当对晶体施加电场时，钛离子的位置会发生相对移动，从而导致了晶胞变形，使其变得更接近（或偏离）正方体，这便是逆压电效应的成因。

为何要对压电材料进行极化？

在晶胞构成的宏观晶体结构中，固有偶极子的取向原本是毫无规则的。当机械应力作用在材料上时，为使储存在偶极子中的总机电能量降至最小，每个偶极子都会改变其初始取向，朝着使能量最小化的方向旋转。如果所有偶极子的初始取向都杂乱无章（也就是净极化为零）的话，旋转行为可能不会显著改变材料的宏观净极化，因此表现出的压电效应可以忽略。所以，在材料中创造一个使多数偶极子大致朝向同一方向的初始状态就尤为重要了。这样的初始状态可以通过对材料进行极化处理实现。偶极子共同朝向的方向便称为极化方向。

箭头表示极化前（左图）、极化中（中图）、极化后（右图）电偶极子的对齐方向。

在极化过程中，施加于材料的强电场使全部偶极子的取向与电场方向保持一致。当撤去电场后，由于晶格的微观缺陷造成的钉扎效应的影响，大部分偶极子不会回到初始取向。这样，我们便得到了由大量取向大致相同的微观偶极子构成的材料。值得注意的是，如果向材料施加与极化方向相反的强电场，或者使材料暴露在高于其居里温度的环境中，材料将发生去极化现象。

研究各向异性材料的属性

现在我们已经了解压电效应的产生原因是晶体结构自身的各向异性以及极化作用。这也意味着，压电材料的刚度（或柔度）矩阵、耦合矩阵和介电常数矩阵等属性是在 123 轴表示的特定晶体坐标系中定义的。

极化方向通常被当做 3rd 轴，然而石英却是一个例外，其极性往往被定义为沿 1st 轴。因此，我们需要用这三个主方向来解释材料属性。例如，耦合系数 d31 表示沿 3rd 主方向施加电场时，材料沿 1st 主方向发生的应变值。这也说明，只有当晶体的主方向与仿真中描述材料位置的坐标系一致时，我们才能在无需修改材料属性的情况下直接使用。

在 COMSOL Multiphysics 中，我们采用由（大写的）XYZ 轴表示的“材料坐标系”定义材料的位置。因此模拟压电材料时，首要的关键步骤是考虑其空间取向和极化方向，以确保材料属性进行正确的阐释。如果晶体的主轴无法与“材料坐标系”的轴对齐，则需要创建一个适当的用户定义坐标系，以获取映射函数来对材料属性进行适当变换（和解释）。现在让我们来看看如何在 COMSOL Multiphysics 中实现这一想法。

极化方向沿 z 轴的压电晶体图（左图），其中主晶体取向的 123 轴与材料坐标系的 XYZ 轴一致。极化方向沿 x 轴的压电晶体（右图）的表示方法与左图不同，其中 1st 主方向与材料坐标系的 Z 轴一致。

使用旋转坐标系

COMSOL Multiphysics 中的“旋转坐标系”让您可以使用 Euler 角的 Z-X-Z 约定来指定方向。如果压电材料的晶体取向或极化方向可以被表示为绕着默认直角坐标系的一次或多次旋转，那么这项功能就可以提供非常大的帮助。

Euler 角 α、β 和 γ 的图像，其中 xyz 表示原始坐标系，XYZ 表示旋转坐标系。

举例来说，蘑菇形压电换能器教学模型展示了如何通过建立旋转坐标系对沿 Z 轴负方向极化的情形进行建模。这一过程是通过将 Euler 角 β 设为 180° 而实现的。另一个教程展示了如何模拟厚度剪切式石英振子，并阐述了如何在 COMSOL 软件中利用 -54.75° 的欧拉角 β 来表示 AT-切型石英，其中石英盘的厚度沿 Z 轴方向表示。

圆盘表示 AT-切型石英，其中蓝箭头表示 1st 主方向。石英盘厚度沿软件中的 Z 轴方向表示。默认坐标显示在左下角。用于建立旋转坐标系的 Euler 角显示在图像右侧。

在上述示例中，如果石英盘的厚度方向取向是沿 COMSOL Multiphysics 中的 Y 轴，那么同样的 AT-切就需要用 35.25° Euler 角 β 来进行表示。值得注意的是，AT-切这一术语没有提供任何关于三维石英晶体的空间方位的明确信息。

相反 AT-切描述的是与石英盘厚度方向一致的晶体取向。如果圆盘在 COMSOL 软件中的全局坐标系中旋转，那么必须采用一组不同的 Euler 角，这是因为 COMSOL Multiphysics 是使用旋转坐标系来定义对应全局坐标系的晶体取向的。

另外，就石英的示例而言，一定要清楚材料的极化方向是左旋还是右旋，同时还需明确要选择两套常用标准中的哪一套来描述材料属性（人们通常采用较旧的 IRE 1949 标来准描述石英材料属性和晶体切片，而 IEEE 1978 标准常被用于描述大部分压电材料）。

图内圆盘表示 AT-切型石英，其中蓝箭头表示 1st 主方向。石英盘的厚度沿 COMSOL 软件中的 Y 轴方向表示。默认坐标显示在左下角。用于建立旋转坐标系的 Euler 角显示在右侧。

备注：1949 IRE 标准和 1978 IEEE 标准可分别被用来描述左旋和右旋极化方向的材料属性。部分材料属性（例如 c14，d11 等）的符号（正或负）变化取决于使用哪种坐标系来定义材料属性。更多关于该主题的详细信息请参考“案例下载”中最新版本的厚度剪切式石英振子示例的文档。

COMSOL Multiphysics 中提供的压电材料。石英的材料属性有 1949 IRE 标准和 1978 IEEE 标准格式，它们分别对应左旋和右旋极化方向两种情况。

使用基矢坐标系

另一种实现方式是指定一组矢量，用于将晶体坐标系和材料坐标系进行关联。在 COMSOL 软件中，这一选项被称为“基矢坐标系”，它可以帮助您建立正交或甚至是非正交坐标系。举例来说，压电剪切驱动梁教学模型介绍了如何通过指定适当的基矢来对表示材料绕 Y 轴旋转 90º 的极化方向进行模拟。

这一特征还具有更高级的用法，利用它可以创建径向极化的（在柱坐标中）压电圆盘或者径向极化的（在球坐标中）中空压电壳。

圆盘表示 PZT-5H 径向极化方向，其中蓝色箭头表示 3rd 主方向（极化方向）。默认坐标系显示在左下角，用来建立柱坐标系的基矢显示在右侧。

COMSOL 仿真软件还提供了其他用于建立用户定义坐标系的选项。例如，可创建一个曲线坐标系以定义在空间中自由弯曲的各向异性材料。

本文来自：COMSOL博客