碳纤维复合材料的应力-应变关系

从宏观力学角度，一般将复合材料看做均匀的各向异性弹性体。在小变形线弹性条件下，各向异性弹性体和各向同性弹性体的力平衡微分方程和几何关系的表达形式是相同的，本质的区别在于物理关系，即应力（力除以垂直于力的截面积）-应变（变化长度除以原长）关系不同。各向异性的特性决定了其力学关系对各向同性复杂的多，各向同性实际上是各向异性体的一个特例。

对于一个平面来讲，有三个应力分量，即平行于X 轴的应力、平行于Y轴的应力和剪切应力，所以对于一般的三维异性体，即有三个平面，所以有9个应力分量，同理对应9个应变分量。应力和应变的关系并不是弹簧那么简单，对于弹簧体，在一维方向上，其应力就等于应变乘以弹性系数，而对于一个三维体来讲，其方向上的应力不仅和弹性系数有关，而且受到其它方向上的约束，例如对于一个平面体，在X轴向拉伸，所以平面体X 方向伸长，同时在Y方向缩短，其缩短必然引起Y轴向上的应力，所以其三维体的应力应变更加复杂。一般各向异性材料包含81个弹性常数，但是由于应力应变分量具有对称性，所以一般各向异形材料弹性常数为36个，有21个独立变量。

事实上，由于材料往往具有不同程度的弹性对称性，所以各向异性材料分为几种。一种就是单对称材料，单对称材料是指有一个弹性堆成绵的各向异性材料。如图4.2-1所示，如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常数，必须与Z轴负方向有关的常数相同，剪应变分量εyz和εxz仅与剪应力分量εyz和εxz有关，则弹性常数可变为13个，因此单对称材料的应力应变关系可以简化。

图1 弹性对称面

另一种就是正交各向异性材料，如果材料有两各正交的材料性能对称面，则对于和这两个相垂直的平面也有对称面（第三个），则这种材料称为正交各向异性材料，其独立常数为9个。

若经过弹性体材料一轴线，在垂直于该轴线的平面内，各点的弹性性能在各个方向上都相同，则此材料称为横观各向同性材料，此平面叫各向同性面，其独立弹性常数变为5个。

若材料中每一点在任意方向上的弹性性能都相同，则此材料称为各向同性材料，独立弹性常数变为2个，例如传统的钢、铜等都是各向同性材料。

上面的材料弹性常数都是用刚度矩阵C表示，而工程上常采用工程弹性常数表示材料的弹性特性。这些工程弹性常数是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量，这些常数可用简单的拉伸及纯剪切试验来测定。图4.3给出了三个单向拉伸和三个纯剪切试验的示意图。

图2 三个单向拉伸和三个纯剪切试验示意图

复合材料层合板或层合壳中，单层的材料主方向往往和参考坐标轴不一致，如图4.4 所示，因此需要把材料主方向坐标系和参考坐标系下的应力应变进行转换，由此获得非材料主方向复合材料单层的应力-应变关系。转化的原则为：取任意需要的单元，把单元上的受力分解到参考坐标系中，然后再把刚才分解的力分别分解到材料主方向坐标系中，然后把分解好的力，按着方向进行叠加，得到材料主方向上的力，然后把得到的每个力除以垂直于该力的截面积，就得到材料主方向上的应力，因其复杂性，其具体公式不做阐述。

图3 材料主方向坐标系和参考坐标系

（来源：中国材料研究学会）